DUAL
PROBLEM
Teori
Dualitas
Istilah
dualitas menunjukkan pada kenyataan bahwa setiap LP terdiri atas dua bentuk.
Bentuk pertama atau bentuk asli dinamakan Primal, sementara bentuk kedua
yang berhubungan dinamakan Dual, sehingga suatu solusi terhadap LP yang
asli juga memberikan solusi pada bentuk
dualnya. Jadi, jika suatu LP diselesaikan dengan metode simplex, sesungguhnya
diperoleh penyelesaian untuk dua masalah LP.
Kegunaan
dual bagi pengambil keputusan adalah bahwa dengan dual mereka dapat melihat alternatif
persamaan dari alternatif yang berbeda. Primal akan menghasilkan solusi-solusi
dalam bentuk jumlah laba yang di dapat dari memproduksi barang, sedangkan dual
akan memberikan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang
membatasi tercapainya laba.
CONTOH
Perusahaan mebel memproduksi meja
dan kursi yang dihitung atas dasar harian. Tiap meja yang diproduksi
menghasilkan keuntungan sebesar $160; sedangkan tiap kursi menghasilkan
keuntungan sebesar $200. Produksi meja dan kursi ini tergantung pada
tersedianya sumber-sumber yang terbatas, tenaga kerja, kayu, dan luas tempat
penyimpanan. Kebutuhan sumber-sumber untuk memproduksi meja dan kursi serta
jumlah total sumber yang tersedia adalah sebagai berikut.
|
Kebutuhan Sumber
|
|||
|
Sumber
|
Meja
|
Kursi
|
Jumlah yang tersedia/hari
|
|
Tenaga
kerja
|
2 jam
|
4 jam
|
40 jam
|
|
Kayu
|
18 pon
|
18 pon
|
216 pon
|
|
Tempat
penyimpanan
|
24 m
|
12 m
|
240 m
|
Perusahaan
ingin mengetahui berapa banyak meja dan kursi yang harus diproduksi untuk
memaksimumkan keuntungan.
Model untuk masalah ini
diformulasikan sebagai berikut
Memaksimumkan
Z=160 X1+200X2
Terbatas
pada
2X1+4X2 £ 40
jam tenaga kerja
18X1+18X2 £ 216 pon
kayu
24
X1+12 X2 £ 240 tempat penyimpanan
diketahui
X1=jumlah
meja yang diproduksi
X2=jumlah
kursi yang diproduksi
Model di
atas mewakili model primal. Untuk suatu model maksimisasi primal, bentuk
dualnya merupakan suatu model minimisasi. Bentuk dual untuk contoh model ini
adalah
Meminimumkan Z =
40 Y1 + 216 Y2 + 240 Y3
Terbatas
pada
2
Y1 + 18 Y2 + 24 Y3 ³ 160
4
Y1 + 18 Y2 + 12 Y3 ³ 200
Jika
masalah Primal dibandingkan masalah Dual, terlihat beberapa hubungan sebagai
berikut:
·
Koefisien
fungsi tujuan masalah Primal menjadi konstan sisi kanan masalah Dual.
Sebaliknya, konstan sisi kanan Primal menjadi koefisien fungsi tujuan Dual.
·
Tanda
pertidak samaan kendala dibalik.
·
Tujuan
diubah dari Minimisasi (Maksimisasi) dalam Primal menjadi Maksimisasi
(Minimisasi) dalam Dual.
·
Setiap
kolom pada Primal berhubungan dengan suatu baris (kendala) dalam Dual. Sehingga
banyaknya kendala dual sama dengan banyaknya variabel Primal.
·
Setiap
baris (kendala) pada Primal berhubungan dengan suatu kolom dalam Dual. Sehingga
ada satu variabel Dual untuk setiap kendala Primal
·
Bentuk
Dual dari Dual adalah bentuk Primal.
Solusi
Optimal Untuk Masalah Primal Di atas Ditunjukkan Sbb:
Tabel Simplex Primal Optimal
|
Cj
|
Varibel Dasar
|
Kuantitas
|
160
|
200
|
0
|
0
|
0
|
|
X1 (S1)
|
X2 (S2)
|
S1
(Y1)
|
S2
(Y2)
|
S3
(Y3)
|
|||
|
200
|
X2
|
8
|
0
|
1
|
1/2
|
-1/8
|
0
|
|
160
|
X1
|
4
|
1
|
0
|
-1/2
|
1/9
|
0
|
|
0
|
S3
|
48
|
0
|
0
|
6
|
-2
|
1
|
|
|
Zj
|
2.240
|
160
|
200
|
20
|
20/3
|
0
|
|
Cj - Zj
|
|
0
|
0
|
-20
|
-20/3
|
0
|
Solusi
Optimal Untuk Masalah Dual Di atas Ditunjukkan
S b b:
Tabel Simplex Dual Optimal
|
Cj
|
Varibel Dasar
|
Kuantitas
|
40
|
216
|
240
|
0
|
0
|
|
Y1 (S1)
|
Y2
(S2)
|
Y3 (S3)
|
S1 (X1)
|
S2 (X2)
|
|||
|
216
|
Y2
|
6,67
|
0
|
1
|
2
|
-1/9
|
1/18
|
|
40
|
Y1
|
20
|
1
|
0
|
-6
|
1/2
|
-1/2
|
|
|
Zj
|
2.240
|
40
|
216
|
192
|
-4
|
-8
|
|
Zj - Cj
|
|
0
|
0
|
-48
|
-4
|
-8
|
Penggunaan
Dual
Manfaat
utama dual pada pengambil keputusan terletak pada informasi yang dihasilkan
yaitu tentang sumber-sumber model. Seringkali manajer tidak terlalu menaruh
perhatian pada laba tetapi lebih pada penggunaan sumber-sumber daripada
akumulasi laba.
Solusi
dual memberikan informasi kepada manajer mengenai nilai dari sumber-sumber,
yang terutama penting dalam pengambilan keputusan untuk menentukan apakah perlu
menambah sumber-sumber serta biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan
tersebut
Jika
keputusan yang diambil adalah untuk menambah sumber-sumber, maka pertanyaan
berikutnya adalah, " Bagaimana hal ini akan berdampak pada solusi
awal?" Daerah solusi yang fisibel ditentukan oleh nilai-nilai yang
membentuk batasan model, dan jika nilai-nalai tersebut diubah, maka besar
kemungkinan daerah yang fisibel tersebut juga berubah. Dampak terhadap solusi
akibat perubahan model merupakan topik yang diselesaikan dengan analisis sensitifitas
Materi oleh Ketua Jurusan Manajemen Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Brawijaya
Bapak Faturrachman, SE, Msi.
Bapak Faturrachman, SE, Msi.